PinyiGear 工程指南 — 齿轮强度计算参考
ISO 6336 接触与齿根弯曲公式及 GB/T 3480、DIN 3990 和 AGMA 2001：20CrMnTi 在 HRC 58~62 时给出 σHlim 1500 MPa 和 σFlim 500 MPa
齿轮强度计算参考
文件编号：GE-EN-001 | 版本：V1.0 | 最后更新：2024-06
1. 范围与适用标准
在评估圆柱齿轮副的承载能力时，有两项校核最为重要。一项涉及齿面产生的接触应力；另一项涉及齿根产生的弯曲应力。PinyiGear 对这两项校核所依据的公式、影响因素和材料数据均汇集于本文件中。
计算方法基于以下标准：
- ISO 6336: 2006 — 圆柱齿轮承载能力计算（国际标准）
- GB/T 3480 — 渐开线圆柱齿轮承载能力计算（中国标准）
- DIN 3990 — 德国标准
- AGMA 2001 — 美国标准
2. 常用齿轮材料的疲劳极限
两项校核的许用应力均取自所选材料及其热处理后的疲劳极限。PinyiGear 针对项目中常指定牌号所采用的值见下表。
| 牌号 | 热处理 | 硬度 (HRC) | $\sigma_{Hlim}$ (MPa) | $\sigma_{Flim}$ (MPa) | 典型应用 |
|---|---|---|---|---|---|
| 20CrMnTi | 渗碳淬火 | 58~62 | 1500 | 500 | 变速箱齿轮 |
| 20CrMo | 渗碳淬火 | 58~62 | 1500 | 500 | 高精度磨齿齿轮 |
| 40Cr | 调质 + 感应淬火 | 48~55 | 1100 | 380 | 中等载荷齿轮 |
| 45# | 调质 | 35~45 | 800 | 300 | 低速轻载齿轮 |
| 42CrMo | 调质 + 渗氮 | ≥50（渗氮层） | 1200 | 420 | 大型齿轮 |
| 40CrNiMo | 调质 | 35~45 | 1000 | 350 | 高强度传动轴 |
3. 齿面接触强度
3.1 应力公式
ISO 6336 给出了齿面接触应力的推导表达式：
$$ \sigma_H = Z_H \cdot Z_E \cdot Z_\varepsilon \cdot Z_\beta \cdot \sqrt{\frac{F_t}{b \cdot d_1} \cdot \frac{u+1}{u} \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{H\beta} \cdot K_{H\alpha}} $$
| 符号 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| $\sigma_H$ | 齿面接触应力 (MPa) | 计算值 |
| $Z_H$ | 节点区域系数 | 取决于压力角/螺旋角 |
| $Z_E$ | 弹性系数 (√(MPa)) | 189.8（钢对钢） |
| $Z_\varepsilon$ | 重合度系数 | 取决于重合度 |
| $Z_\beta$ | 螺旋角系数 | 直齿轮 = 1，斜齿轮 < 1 |
| $F_t$ | 分度圆上的名义切向力 (N) | $F_t = 2T/d$ |
| $b$ | 齿宽 (mm) | |
| $d_1$ | 小齿轮分度圆直径 (mm) | |
| $u$ | 齿数比 | $u = Z_2/Z_1 \ge 1$ |
| $K_A$ | 使用系数 | 原动机与从动机械的载荷特性 |
| $K_V$ | 动载系数 | 速度和精度的影响 |
| $K_{H\beta}$ | 齿向载荷分布系数 | 接触强度 |
| $K_{H\alpha}$ | 齿间载荷分配系数 | 接触强度 |
3.2 许用接触应力
许用值由参考疲劳极限与一组修正系数组合而成：
$$ \sigma_{HP} = \frac{\sigma_{Hlim} \cdot Z_N \cdot Z_L \cdot Z_V \cdot Z_R \cdot Z_W \cdot Z_X}{S_{Hmin}} $$
| 符号 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| $\sigma_{Hlim}$ | 参考齿轮的接触疲劳极限 (MPa) | 由材料/热处理决定 |
| $Z_N$ | 寿命系数 | 取决于应力循环次数 |
| $Z_L$ | 润滑剂系数 | 取决于润滑剂粘度 |
| $Z_V$ | 速度系数 | 取决于节线速度 |
| $Z_R$ | 粗糙度系数 | 取决于齿面粗糙度 |
| $Z_W$ | 工作硬化系数 | 取决于配对齿轮的硬度差 |
| $Z_X$ | 尺寸系数 | 取决于模数/尺寸 |
| $S_{Hmin}$ | 最小安全系数 | 接触强度 |
3.3 合格条件
$$ \sigma_H \le \sigma_{HP} $$
4. 齿根弯曲强度
4.1 应力公式
对于齿根弯曲应力，采用 ISO 6336 形式：
$$ \sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_{Fa} \cdot Y_{Sa} \cdot Y_\varepsilon \cdot Y_\beta \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha} $$
| 符号 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| $\sigma_F$ | 齿根弯曲应力 (MPa) | 计算值 |
| $m_n$ | 法向模数 (mm) | |
| $Y_{Fa}$ | 齿形系数 | 取决于齿数/变位系数 |
| $Y_{Sa}$ | 应力修正系数 | 齿根过渡圆角的影响 |
| $Y_\varepsilon$ | 重合度系数 | |
| $Y_\beta$ | 螺旋角系数 | |
| $K_{F\beta}$ | 齿向载荷分布系数 | 弯曲强度 |
| $K_{F\alpha}$ | 齿间载荷分配系数 | 弯曲强度 |
4.2 许用弯曲应力
$$ \sigma_{FP} = \frac{\sigma_{Flim} \cdot Y_N \cdot Y_{ST} \cdot Y_{\delta relT} \cdot Y_{RrelT} \cdot Y_X}{S_{Fmin}} $$
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $\sigma_{Flim}$ | 参考齿轮的弯曲疲劳极限 (MPa) |
| $Y_N$ | 寿命系数 |
| $Y_{ST}$ | 应力修正系数（通常取 2.0） |
| $Y_{\delta relT}$ | 相对齿根圆角敏感系数 |
| $Y_{RrelT}$ | 相对齿根表面状况系数 |
| $Y_X$ | 尺寸系数 |
| $S_{Fmin}$ | 最小安全系数（弯曲强度） |
4.3 合格条件
$$ \sigma_F \le \sigma_{FP} $$
5. 载荷系数
5.1 使用系数 $K_A$
| 重冲击 | 原动机 | 从动机械均匀载荷 | 中等冲击 |
|---|---|---|---|
| 1.75 | 电动机/汽轮机 | 1.00 | 1.25 |
| 2.00 | 多缸内燃机 | 1.25 | 1.50 |
| 2.25 | 单缸内燃机 | 1.50 | 1.75 |
5.2 动载系数 $K_V$
$$ K_V = 1 + \left( \frac{K_1}{K_A \cdot F_t/b \cdot K_{H\beta}} + K_2 \right) \cdot \frac{z_1 \cdot v}{100} \cdot \sqrt{\frac{u^2}{1+u^2}} $$
在该表达式中，$v$ 表示节线速度 (m/s)，而 $K_1$ 和 $K_2$ 表示精度系数。
6. 推荐安全系数
| 弯曲强度 $S_{Fmin}$ | 应用 | 接触强度 $S_{Hmin}$ |
|---|---|---|
| 1.25~1.5 | 一般传动 | 1.0~1.1 |
| 1.5~1.8 | 高可靠性 | 1.1~1.25 |
| 1.8~2.5 | 航空航天 | 1.25~1.5 |
7. 计算示例（快速计算）
圆柱齿轮强度快速估算
| 参数 | 值 |
|---|---|
| 模数 $m_n$ | 3 mm |
| 齿数 $Z_1$ / $Z_2$ | 23 / 74 |
| 齿宽 $b$ | 40 mm |
| 输入扭矩 $T_1$ | 200 N·m |
| 材料/热处理 | 20CrMnTi 渗碳淬火 |
| 转速 $n_1$ | 1450 rpm |
| 精度等级 | DIN 6 级 |
计算步骤：
- 切向力：$F_t = 2T/d_1 = 2 × 200000 / (3×23) = 5797 N$
- 齿面接触应力 — 取 $Z_H=2.5,\ Z_E=189.8,\ Z_ε=0.87,\ Z_β=1.0,\ K_A=1.25,\ K_V=1.1,\ K_{Hβ}=1.15,\ K_{Hα}=1.1$： $σ_H = 2.5 × 189.8 × 0.87 × 1.0 × √(5797/(40×69) × (3.22+1)/3.22 × 1.25×1.1×1.15×1.1) ≈ 720\ MPa$
- 许用接触应力：$σ_{HP} = 1500 / (1.1) ≈ 1364\ MPa$（安全）
- 齿根弯曲应力 — 取 $Y_{Fa}=2.7,\ Y_{Sa}=1.55,\ Y_ε=0.7,\ Y_β=1.0,\ K_{Fβ}=1.1,\ K_{Fα}=1.1$： $σ_F = 5797/(40×3) × 2.7×1.55×0.7×1.0 × 1.25×1.1×1.1×1.1 ≈ 258\ MPa$
- 许用弯曲应力：$σ_{FP} = 500×2.0 / (1.5) ≈ 667\ MPa$（安全）
8. 软件与工具
| 工具 | 类型 | 备注 |
|---|---|---|
| KISSsoft | 商业软件 | 齿轮传动系统的专业设计与分析 |
| MASTA | 商业软件 | 传动系统设计与仿真 |
| Romax | 商业软件 | 变速箱/轴承系统分析 |
| 齿轮计算表格 (Excel) | 内部 | PinyiGear 内部齿轮强度校核表 |
| 在线齿轮计算 | 网页 | www.geartechnology.com 在线计算工具 |
9. 设计说明
- 若齿面接触强度不足，应按以下顺序补救：先增大分度圆直径，再加大齿宽，最后提高硬度。
- 若齿根弯曲强度不足，应按以下顺序处理：先增大模数，再加大齿宽，最后采用正变位。
- 在任何实际设计中，两项强度准则必须同时满足。
- 高速运转的齿轮还需要进行抗胶合承载能力校核，可通过闪温法或积分温度法进行。