PinyiGear 工程指南 — 齒輪強度計算參考
ISO 6336 接觸與齒根彎曲公式，搭配 GB/T 3480、DIN 3990 與 AGMA 2001：20CrMnTi 於 HRC 58~62 時 σHlim 1500 MPa、σFlim 500 MPa
齒輪強度計算參考
文件編號：GE-EN-001 | 版本：V1.0 | 最後更新：2024-06
1. 範圍與適用標準
在評估圓柱齒輪對的承載能力時，有兩項驗算最為關鍵。其一涉及齒面所產生的接觸應力；其二涉及齒根所產生的彎曲應力。PinyiGear 於這兩項驗算所依據的公式、影響因素與材料數據，均彙整於本文件中。
計算方法係依據下列標準：
- ISO 6336: 2006 — 圓柱齒輪承載能力計算（國際標準）
- GB/T 3480 — 漸開線圓柱齒輪承載能力計算（中國標準）
- DIN 3990 — 德國標準
- AGMA 2001 — 美國標準
2. 常用齒輪材料的疲勞極限
兩項驗算的容許應力，均取自所選材料及其熱處理後的疲勞極限。PinyiGear 針對專案中最常指定之鋼種所採用的數值，列於下表。
| 鋼種 | 熱處理 | 硬度 (HRC) | $\sigma_{Hlim}$ (MPa) | $\sigma_{Flim}$ (MPa) | 典型應用 |
|---|---|---|---|---|---|
| 20CrMnTi | 滲碳淬火 | 58~62 | 1500 | 500 | 變速箱齒輪 |
| 20CrMo | 滲碳淬火 | 58~62 | 1500 | 500 | 高精度磨齒齒輪 |
| 40Cr | 調質 + 感應淬火 | 48~55 | 1100 | 380 | 中等負載齒輪 |
| 45# | 調質 | 35~45 | 800 | 300 | 低速輕載齒輪 |
| 42CrMo | 調質 + 氮化 | ≥50（氮化層） | 1200 | 420 | 大型齒輪 |
| 40CrNiMo | 調質 | 35~45 | 1000 | 350 | 高強度傳動軸 |
3. 齒面接觸強度
3.1 應力公式
ISO 6336 提供齒面接觸應力的推導式：
$$ \sigma_H = Z_H \cdot Z_E \cdot Z_\varepsilon \cdot Z_\beta \cdot \sqrt{\frac{F_t}{b \cdot d_1} \cdot \frac{u+1}{u} \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{H\beta} \cdot K_{H\alpha}} $$
| 符號 | 意義 | 備註 |
|---|---|---|
| $\sigma_H$ | 齒面接觸應力 (MPa) | 計算值 |
| $Z_H$ | 節點區域係數 | 取決於壓力角／螺旋角 |
| $Z_E$ | 彈性係數 (√(MPa)) | 189.8（鋼對鋼） |
| $Z_\varepsilon$ | 重合度係數 | 取決於重合度 |
| $Z_\beta$ | 螺旋角係數 | 直齒輪 = 1，斜齒輪 < 1 |
| $F_t$ | 節圓上的名義切向力 (N) | $F_t = 2T/d$ |
| $b$ | 齒寬 (mm) | |
| $d_1$ | 小齒輪節圓直徑 (mm) | |
| $u$ | 齒數比 | $u = Z_2/Z_1 \ge 1$ |
| $K_A$ | 使用係數 | 原動機與從動機械的負載特性 |
| $K_V$ | 動載係數 | 轉速與精度的影響 |
| $K_{H\beta}$ | 齒向載荷係數 | 接觸強度 |
| $K_{H\alpha}$ | 端面載荷係數 | 接觸強度 |
3.2 容許接觸應力
容許值係由參考疲勞極限結合一系列修正係數而得：
$$ \sigma_{HP} = \frac{\sigma_{Hlim} \cdot Z_N \cdot Z_L \cdot Z_V \cdot Z_R \cdot Z_W \cdot Z_X}{S_{Hmin}} $$
| 符號 | 意義 | 備註 |
|---|---|---|
| $\sigma_{Hlim}$ | 參考齒輪的接觸疲勞極限 (MPa) | 由材料／熱處理決定 |
| $Z_N$ | 壽命係數 | 取決於應力循環次數 |
| $Z_L$ | 潤滑劑係數 | 取決於潤滑劑黏度 |
| $Z_V$ | 速度係數 | 取決於節線速度 |
| $Z_R$ | 粗糙度係數 | 取決於齒面粗糙度 |
| $Z_W$ | 加工硬化係數 | 取決於配對齒輪的硬度差 |
| $Z_X$ | 尺寸係數 | 取決於模數／尺寸 |
| $S_{Hmin}$ | 最小安全係數 | 接觸強度 |
3.3 合格條件
$$ \sigma_H \le \sigma_{HP} $$
4. 齒根彎曲強度
4.1 應力公式
齒根彎曲應力採用 ISO 6336 的形式：
$$ \sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_{Fa} \cdot Y_{Sa} \cdot Y_\varepsilon \cdot Y_\beta \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha} $$
| 符號 | 意義 | 備註 |
|---|---|---|
| $\sigma_F$ | 齒根彎曲應力 (MPa) | 計算值 |
| $m_n$ | 法向模數 (mm) | |
| $Y_{Fa}$ | 齒形係數 | 取決於齒數／變位係數 |
| $Y_{Sa}$ | 應力修正係數 | 齒根圓角的影響 |
| $Y_\varepsilon$ | 重合度係數 | |
| $Y_\beta$ | 螺旋角係數 | |
| $K_{F\beta}$ | 齒向載荷係數 | 彎曲強度 |
| $K_{F\alpha}$ | 端面載荷係數 | 彎曲強度 |
4.2 容許彎曲應力
$$ \sigma_{FP} = \frac{\sigma_{Flim} \cdot Y_N \cdot Y_{ST} \cdot Y_{\delta relT} \cdot Y_{RrelT} \cdot Y_X}{S_{Fmin}} $$
| 符號 | 意義 |
|---|---|
| $\sigma_{Flim}$ | 參考齒輪的彎曲疲勞極限 (MPa) |
| $Y_N$ | 壽命係數 |
| $Y_{ST}$ | 應力修正係數（通常取 2.0） |
| $Y_{\delta relT}$ | 相對齒根圓角敏感度係數 |
| $Y_{RrelT}$ | 相對齒根表面狀態係數 |
| $Y_X$ | 尺寸係數 |
| $S_{Fmin}$ | 最小安全係數（彎曲強度） |
4.3 合格條件
$$ \sigma_F \le \sigma_{FP} $$
5. 載荷係數
5.1 使用係數 $K_A$
| 重度衝擊 | 原動機 | 從動機械均勻負載 | 中度衝擊 |
|---|---|---|---|
| 1.75 | 電動機／汽輪機 | 1.00 | 1.25 |
| 2.00 | 多缸內燃機 | 1.25 | 1.50 |
| 2.25 | 單缸內燃機 | 1.50 | 1.75 |
5.2 動載係數 $K_V$
$$ K_V = 1 + \left( \frac{K_1}{K_A \cdot F_t/b \cdot K_{H\beta}} + K_2 \right) \cdot \frac{z_1 \cdot v}{100} \cdot \sqrt{\frac{u^2}{1+u^2}} $$
式中，$v$ 表示節線速度 (m/s)，而 $K_1$ 與 $K_2$ 則代表精度係數。
6. 建議安全係數
| 彎曲強度 $S_{Fmin}$ | 應用 | 接觸強度 $S_{Hmin}$ |
|---|---|---|
| 1.25~1.5 | 一般傳動 | 1.0~1.1 |
| 1.5~1.8 | 高可靠性 | 1.1~1.25 |
| 1.8~2.5 | 航太 | 1.25~1.5 |
7. 計算實例（快速計算）
圓柱齒輪的快速強度估算
| 參數 | 數值 |
|---|---|
| 模數 $m_n$ | 3 mm |
| 齒數 $Z_1$ / $Z_2$ | 23 / 74 |
| 齒寬 $b$ | 40 mm |
| 輸入扭矩 $T_1$ | 200 N·m |
| 材料／熱處理 | 20CrMnTi 滲碳淬火 |
| 轉速 $n_1$ | 1450 rpm |
| 精度等級 | DIN 6 級 |
計算步驟：
- 切向力：$F_t = 2T/d_1 = 2 × 200000 / (3×23) = 5797 N$
- 齒面接觸應力 — 取 $Z_H=2.5,\ Z_E=189.8,\ Z_ε=0.87,\ Z_β=1.0,\ K_A=1.25,\ K_V=1.1,\ K_{Hβ}=1.15,\ K_{Hα}=1.1$： $σ_H = 2.5 × 189.8 × 0.87 × 1.0 × √(5797/(40×69) × (3.22+1)/3.22 × 1.25×1.1×1.15×1.1) ≈ 720\ MPa$
- 容許接觸應力：$σ_{HP} = 1500 / (1.1) ≈ 1364\ MPa$（安全）
- 齒根彎曲應力 — 取 $Y_{Fa}=2.7,\ Y_{Sa}=1.55,\ Y_ε=0.7,\ Y_β=1.0,\ K_{Fβ}=1.1,\ K_{Fα}=1.1$： $σ_F = 5797/(40×3) × 2.7×1.55×0.7×1.0 × 1.25×1.1×1.1×1.1 ≈ 258\ MPa$
- 容許彎曲應力：$σ_{FP} = 500×2.0 / (1.5) ≈ 667\ MPa$（安全）
8. 軟體與工具
| 工具 | 類型 | 備註 |
|---|---|---|
| KISSsoft | 商業軟體 | 齒輪傳動系統的專業設計與分析 |
| MASTA | 商業軟體 | 傳動系統設計與模擬 |
| Romax | 商業軟體 | 變速箱／軸承系統分析 |
| 齒輪計算試算表 (Excel) | 內部 | PinyiGear 內部齒輪強度校核表 |
| 線上齒輪計算 | 網頁 | www.geartechnology.com 線上計算工具 |
9. 設計注意事項
- 若齒面接觸強度不足，應依下列順序補救：先加大節圓直徑，其次加寬齒寬，最後提高硬度。
- 若齒根彎曲強度不足，應先加大模數，其次加寬齒寬，最後採用正變位。
- 在任何實際設計中，兩項強度準則必須同時滿足。
- 高速運轉的齒輪亦需進行膠合承載能力校核，可採用閃溫法或積分溫度法進行。