PinyiGear エンジニアリングガイド — 歯車強度計算リファレンス
ISO 6336 接触および歯元曲げの式と GB/T 3480、DIN 3990、AGMA 2001: 20CrMnTi を HRC 58~62 で使用すると σHlim 1500 MPa、σFlim 500 MPa
歯車強度計算リファレンス
文書番号: GE-EN-001 | バージョン: V1.0 | 最終更新: 2024-06
1. 適用範囲と準拠規格
円筒歯車対の負荷容量を評価する場合、最も重視される検証は二つある。一つは歯面に生じる接触応力に関するもので、もう一つは歯元に生じる曲げ応力に関するものである。PinyiGear が両方の検証で依拠する計算式、影響係数、材料データを本書にまとめる。
計算手法は以下の規格に基づく:
- ISO 6336: 2006 — 円筒歯車の負荷容量計算（国際規格）
- GB/T 3480 — インボリュート円筒歯車の負荷容量計算（中国規格）
- DIN 3990 — ドイツ規格
- AGMA 2001 — アメリカ規格
2. 一般的な歯車材料の疲労限度
両方の検証では、許容応力は選択した材料の疲労限度とその熱処理から導かれる。PinyiGear がプロジェクトで最も頻繁に指定される鋼種に適用する値を以下の表に示す。
| 鋼種 | 熱処理 | 硬さ (HRC) | $\sigma_{Hlim}$ (MPa) | $\sigma_{Flim}$ (MPa) | 典型的な用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| 20CrMnTi | 浸炭焼入れ | 58~62 | 1500 | 500 | 変速機歯車 |
| 20CrMo | 浸炭焼入れ | 58~62 | 1500 | 500 | 高精度研削歯車 |
| 40Cr | 調質＋高周波焼入れ | 48~55 | 1100 | 380 | 中負荷歯車 |
| 45# | 調質 | 35~45 | 800 | 300 | 低速軽負荷歯車 |
| 42CrMo | 調質＋窒化 | ≥50（窒化層） | 1200 | 420 | 大型歯車 |
| 40CrNiMo | 調質 | 35~45 | 1000 | 350 | 高強度伝動軸 |
3. 歯面接触強度
3.1 応力式
ISO 6336 は歯面接触応力を導出する式を提供している:
$$ \sigma_H = Z_H \cdot Z_E \cdot Z_\varepsilon \cdot Z_\beta \cdot \sqrt{\frac{F_t}{b \cdot d_1} \cdot \frac{u+1}{u} \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{H\beta} \cdot K_{H\alpha}} $$
| 記号 | 意味 | 備考 |
|---|---|---|
| $\sigma_H$ | 歯面接触応力 (MPa) | 計算値 |
| $Z_H$ | ピッチ点における領域係数 | 圧力角/ねじれ角に依存 |
| $Z_E$ | 弾性係数 (√(MPa)) | 189.8（鋼対鋼） |
| $Z_\varepsilon$ | かみ合い率係数 | かみ合い率に依存 |
| $Z_\beta$ | ねじれ角係数 | 平歯車 = 1、はすば歯車 < 1 |
| $F_t$ | ピッチ円上の公称接線力 (N) | $F_t = 2T/d$ |
| $b$ | 歯幅 (mm) | |
| $d_1$ | ピニオン ピッチ円直径 (mm) | |
| $u$ | 歯車比 | $u = Z_2/Z_1 \ge 1$ |
| $K_A$ | 使用係数 | 原動機と被動機械の負荷特性 |
| $K_V$ | 動的係数 | 速度と精度の影響 |
| $K_{H\beta}$ | 歯幅方向荷重係数 | 接触強度 |
| $K_{H\alpha}$ | 歯直角方向荷重係数 | 接触強度 |
3.2 許容接触応力
許容値は基準疲労限度に一連の補正係数を組み合わせて求める:
$$ \sigma_{HP} = \frac{\sigma_{Hlim} \cdot Z_N \cdot Z_L \cdot Z_V \cdot Z_R \cdot Z_W \cdot Z_X}{S_{Hmin}} $$
| 記号 | 意味 | 備考 |
|---|---|---|
| $\sigma_{Hlim}$ | 基準歯車の接触疲労限度 (MPa) | 材料/熱処理により決定 |
| $Z_N$ | 寿命係数 | 応力繰返し数に依存 |
| $Z_L$ | 潤滑油係数 | 潤滑油粘度に依存 |
| $Z_V$ | 速度係数 | ピッチ線速度に依存 |
| $Z_R$ | 粗さ係数 | 歯面粗さに依存 |
| $Z_W$ | 加工硬化係数 | 相手歯車の硬さ差に依存 |
| $Z_X$ | 寸法係数 | モジュール/寸法に依存 |
| $S_{Hmin}$ | 最小安全率 | 接触強度 |
3.3 許容条件
$$ \sigma_H \le \sigma_{HP} $$
4. 歯元曲げ強度
4.1 応力式
歯元の曲げ応力には ISO 6336 の形式を用いる:
$$ \sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_{Fa} \cdot Y_{Sa} \cdot Y_\varepsilon \cdot Y_\beta \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha} $$
| 記号 | 意味 | 備考 |
|---|---|---|
| $\sigma_F$ | 歯元曲げ応力 (MPa) | 計算値 |
| $m_n$ | 正面モジュール (mm) | |
| $Y_{Fa}$ | 歯形係数 | 歯数/転位係数に依存 |
| $Y_{Sa}$ | 応力修正係数 | 歯元すみ肉の影響 |
| $Y_\varepsilon$ | かみ合い率係数 | |
| $Y_\beta$ | ねじれ角係数 | |
| $K_{F\beta}$ | 歯幅方向荷重係数 | 曲げ強度 |
| $K_{F\alpha}$ | 歯直角方向荷重係数 | 曲げ強度 |
4.2 許容曲げ応力
$$ \sigma_{FP} = \frac{\sigma_{Flim} \cdot Y_N \cdot Y_{ST} \cdot Y_{\delta relT} \cdot Y_{RrelT} \cdot Y_X}{S_{Fmin}} $$
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\sigma_{Flim}$ | 基準歯車の曲げ疲労限度 (MPa) |
| $Y_N$ | 寿命係数 |
| $Y_{ST}$ | 応力修正係数（通常 2.0 とする） |
| $Y_{\delta relT}$ | 相対歯元すみ肉感度係数 |
| $Y_{RrelT}$ | 相対歯元表面状態係数 |
| $Y_X$ | 寸法係数 |
| $S_{Fmin}$ | 最小安全率（曲げ強度） |
4.3 許容条件
$$ \sigma_F \le \sigma_{FP} $$
5. 荷重係数
5.1 使用係数 $K_A$
| 大きな衝撃 | 原動機 | 被動機械の均一負荷 | 中程度の衝撃 |
|---|---|---|---|
| 1.75 | 電動機/タービン | 1.00 | 1.25 |
| 2.00 | 多気筒内燃機関 | 1.25 | 1.50 |
| 2.25 | 単気筒内燃機関 | 1.50 | 1.75 |
5.2 動的係数 $K_V$
$$ K_V = 1 + \left( \frac{K_1}{K_A \cdot F_t/b \cdot K_{H\beta}} + K_2 \right) \cdot \frac{z_1 \cdot v}{100} \cdot \sqrt{\frac{u^2}{1+u^2}} $$
この式で、$v$ はピッチ線速度 (m/s) を表し、$K_1$ と $K_2$ は精度係数を表す。
6. 推奨安全率
| 曲げ強度 $S_{Fmin}$ | 用途 | 接触強度 $S_{Hmin}$ |
|---|---|---|
| 1.25~1.5 | 一般駆動 | 1.0~1.1 |
| 1.5~1.8 | 高信頼性 | 1.1~1.25 |
| 1.8~2.5 | 航空宇宙 | 1.25~1.5 |
7. 計算例（簡易計算）
円筒歯車の迅速強度推定
| パラメータ | 値 |
|---|---|
| モジュール $m_n$ | 3 mm |
| 歯数 $Z_1$ / $Z_2$ | 23 / 74 |
| 歯幅 $b$ | 40 mm |
| 入力トルク $T_1$ | 200 N·m |
| 材料/熱処理 | 20CrMnTi 浸炭焼入れ |
| 回転数 $n_1$ | 1450 rpm |
| 精度等級 | DIN 6 級 |
計算手順:
- 接線力: $F_t = 2T/d_1 = 2 × 200000 / (3×23) = 5797 N$
- 歯面接触応力 — $Z_H=2.5,\ Z_E=189.8,\ Z_ε=0.87,\ Z_β=1.0,\ K_A=1.25,\ K_V=1.1,\ K_{Hβ}=1.15,\ K_{Hα}=1.1$ として: $σ_H = 2.5 × 189.8 × 0.87 × 1.0 × √(5797/(40×69) × (3.22+1)/3.22 × 1.25×1.1×1.15×1.1) ≈ 720\ MPa$
- 許容接触応力: $σ_{HP} = 1500 / (1.1) ≈ 1364\ MPa$（安全）
- 歯元曲げ応力 — $Y_{Fa}=2.7,\ Y_{Sa}=1.55,\ Y_ε=0.7,\ Y_β=1.0,\ K_{Fβ}=1.1,\ K_{Fα}=1.1$ として: $σ_F = 5797/(40×3) × 2.7×1.55×0.7×1.0 × 1.25×1.1×1.1×1.1 ≈ 258\ MPa$
- 許容曲げ応力: $σ_{FP} = 500×2.0 / (1.5) ≈ 667\ MPa$（安全）
8. ソフトウェアとツール
| ツール | 種類 | 備考 |
|---|---|---|
| KISSsoft | 商用ソフトウェア | 歯車伝動システムの専門設計・解析 |
| MASTA | 商用ソフトウェア | 伝動システムの設計とシミュレーション |
| Romax | 商用ソフトウェア | 変速機/軸受システム解析 |
| 歯車計算スプレッドシート (Excel) | 社内 | PinyiGear 内部歯車強度チェックシート |
| オンライン歯車計算 | Web | www.geartechnology.com オンライン計算ツール |
9. 設計上の注意
- 歯面接触強度が不十分な場合は、次の順序で対策する: まずピッチ円直径を拡大し、次に歯幅を広げ、最後に硬さを上げる。
- 歯元曲げ強度が不十分な場合は、まずモジュールを拡大し、次に歯幅を広げ、最後に正の転位を適用する。
- 実際の設計では、両方の強度基準を同時に満たす必要がある。
- 高速で運転する歯車では、スカッフィング負荷容量のチェックも必要であり、閃光温度法または積分温度法のいずれかで実施する。