PinyiGear Engineering Guide — Referenz für Zahnradfestigkeitsberechnungen

ISO 6336 Kontakt- und Fußbiegeformeln mit GB/T 3480, DIN 3990 und AGMA 2001: 20CrMnTi bei HRC 58~62 ergibt σHlim 1500 MPa und σFlim 500 MPa

Referenz für Zahnradfestigkeitsberechnungen

Dokumentnummer: GE-EN-001 | Version: V1.0 | Letzte Aktualisierung: 2024-06

1. Geltungsbereich und maßgebende Normen

Bei der Beurteilung der Tragfähigkeit eines Stirnradpaares haben zwei Nachweise das größte Gewicht. Der eine betrifft die Kontaktspannung, die an den Zahnflanken entsteht; der andere betrifft die Biegespannung, die am Zahnfuß auftritt. Die Formeln, Einflussfaktoren und Werkstoffdaten, auf die sich PinyiGear für beide Nachweise stützt, sind in diesem Dokument zusammengestellt.

Der Berechnungsansatz basiert auf den folgenden Normen:

ISO 6336: 2006 — Berechnung der Tragfähigkeit von Stirnrädern (internationale Norm)
GB/T 3480 — Berechnung der Tragfähigkeit von Evolventen-Stirnrädern (chinesische Norm)
DIN 3990 — Deutsche Norm
AGMA 2001 — Amerikanische Norm

2. Dauerfestigkeitsgrenzen gängiger Zahnradwerkstoffe

Beide Nachweise beziehen ihre zulässigen Spannungen aus der Dauerfestigkeitsgrenze des gewählten Werkstoffs zusammen mit seiner Wärmebehandlung. Werte, die PinyiGear für die in unseren Projekten am häufigsten genannten Sorten anwendet, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Sorte	Wärmebehandlung	Härte (HRC)	$\sigma_{Hlim}$ (MPa)	$\sigma_{Flim}$ (MPa)	Typische Anwendung
20CrMnTi	Einsatzgehärtet und abgeschreckt	58~62	1500	500	Getriebezahnräder
20CrMo	Einsatzgehärtet und abgeschreckt	58~62	1500	500	Hochpräzisionsgeschliffene Zahnräder
40Cr	Vergütet + induktionsgehärtet	48~55	1100	380	Zahnräder für mittlere Last
45#	Vergütet	35~45	800	300	Langsam laufende Zahnräder für leichte Last
42CrMo	Vergütet + nitriert	≥50 (Nitrierschicht)	1200	420	Große Zahnräder
40CrNiMo	Vergütet	35~45	1000	350	Hochfeste Getriebewellen

3. Zahnflanken-Kontaktfestigkeit

3.1 Spannungsformel

ISO 6336 liefert den Ausdruck, aus dem die Flankenkontaktspannung abgeleitet wird:

$$ \sigma_H = Z_H \cdot Z_E \cdot Z_\varepsilon \cdot Z_\beta \cdot \sqrt{\frac{F_t}{b \cdot d_1} \cdot \frac{u+1}{u} \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{H\beta} \cdot K_{H\alpha}} $$

Symbol	Bedeutung	Hinweise
$\sigma_H$	Zahnflankenkontaktspannung (MPa)	Berechneter Wert
$Z_H$	Zonenfaktor im Wälzpunkt	Abhängig von Eingriffswinkel/Schrägungswinkel
$Z_E$	Elastizitätsfaktor (√(MPa))	189.8 (Stahl auf Stahl)
$Z_\varepsilon$	Überdeckungsfaktor	Abhängig von der Überdeckung
$Z_\beta$	Schrägungswinkelfaktor	Geradverzahnung = 1, Schrägverzahnung < 1
$F_t$	Nennumfangskraft am Teilkreis (N)	$F_t = 2T/d$
$b$	Zahnbreite (mm)
$d_1$	Teilkreisdurchmesser des Ritzels (mm)
$u$	Übersetzungsverhältnis	$u = Z_2/Z_1 \ge 1$
$K_A$	Anwendungsfaktor	Lastcharakteristik von Antriebsmaschine und Arbeitsmaschine
$K_V$	Dynamikfaktor	Einfluss von Drehzahl und Genauigkeit
$K_{H\beta}$	Breitenlastfaktor	Kontaktfestigkeit
$K_{H\alpha}$	Stirnlastfaktor	Kontaktfestigkeit

3.2 Zulässige Kontaktspannung

Der zulässige Wert kombiniert die Referenz-Dauerfestigkeitsgrenze mit einer Reihe von Korrekturfaktoren:

$$ \sigma_{HP} = \frac{\sigma_{Hlim} \cdot Z_N \cdot Z_L \cdot Z_V \cdot Z_R \cdot Z_W \cdot Z_X}{S_{Hmin}} $$

Symbol	Bedeutung	Hinweise
$\sigma_{Hlim}$	Kontakt-Dauerfestigkeitsgrenze des Referenzzahnrads (MPa)	Bestimmt durch Werkstoff/Wärmebehandlung
$Z_N$	Lebensdauerfaktor	Abhängig von der Anzahl der Lastwechsel
$Z_L$	Schmierstofffaktor	Abhängig von der Schmierstoffviskosität
$Z_V$	Geschwindigkeitsfaktor	Abhängig von der Umfangsgeschwindigkeit
$Z_R$	Rauheitsfaktor	Abhängig von der Zahnflankenrauheit
$Z_W$	Kaltverfestigungsfaktor	Abhängig von der Härtedifferenz des Gegenrads
$Z_X$	Größenfaktor	Abhängig von Modul/Größe
$S_{Hmin}$	Mindestsicherheitsfaktor	Kontaktfestigkeit

3.3 Abnahmebedingung

$$ \sigma_H \le \sigma_{HP} $$

4. Zahnfuß-Biegefestigkeit

4.1 Spannungsformel

Für die Biegespannung am Zahnfuß wird die Form nach ISO 6336 verwendet:

$$ \sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m_n} \cdot Y_{Fa} \cdot Y_{Sa} \cdot Y_\varepsilon \cdot Y_\beta \cdot K_A \cdot K_V \cdot K_{F\beta} \cdot K_{F\alpha} $$

Symbol	Bedeutung	Hinweise
$\sigma_F$	Zahnfußbiegespannung (MPa)	Berechneter Wert
$m_n$	Normalmodul (mm)
$Y_{Fa}$	Formfaktor	Abhängig von Zähnezahl/Profilverschiebungsfaktor
$Y_{Sa}$	Spannungskorrekturfaktor	Einfluss der Fußausrundung
$Y_\varepsilon$	Überdeckungsfaktor
$Y_\beta$	Schrägungswinkelfaktor
$K_{F\beta}$	Breitenlastfaktor	Biegefestigkeit
$K_{F\alpha}$	Stirnlastfaktor	Biegefestigkeit

4.2 Zulässige Biegespannung

$$ \sigma_{FP} = \frac{\sigma_{Flim} \cdot Y_N \cdot Y_{ST} \cdot Y_{\delta relT} \cdot Y_{RrelT} \cdot Y_X}{S_{Fmin}} $$

Symbol	Bedeutung
$\sigma_{Flim}$	Biege-Dauerfestigkeitsgrenze des Referenzzahnrads (MPa)
$Y_N$	Lebensdauerfaktor
$Y_{ST}$	Spannungskorrekturfaktor (üblicherweise 2.0)
$Y_{\delta relT}$	Relativer Fußausrundungs-Empfindlichkeitsfaktor
$Y_{RrelT}$	Relativer Fußoberflächenzustandsfaktor
$Y_X$	Größenfaktor
$S_{Fmin}$	Mindestsicherheitsfaktor (Biegefestigkeit)

4.3 Abnahmebedingung

$$ \sigma_F \le \sigma_{FP} $$

5. Lastfaktoren

5.1 Anwendungsfaktor $K_A$

Starke Stöße	Antriebsmaschine	Gleichmäßige Last auf der Arbeitsmaschine	Mäßige Stöße
1.75	Elektromotor/Turbine	1.00	1.25
2.00	Mehrzylinder-Verbrennungsmotor	1.25	1.50
2.25	Einzylinder-Verbrennungsmotor	1.50	1.75

5.2 Dynamikfaktor $K_V$

$$ K_V = 1 + \left( \frac{K_1}{K_A \cdot F_t/b \cdot K_{H\beta}} + K_2 \right) \cdot \frac{z_1 \cdot v}{100} \cdot \sqrt{\frac{u^2}{1+u^2}} $$

In diesem Ausdruck bezeichnet $v$ die Umfangsgeschwindigkeit (m/s), während $K_1$ und $K_2$ Genauigkeitskoeffizienten darstellen.

6. Empfohlene Sicherheitsfaktoren

Biegefestigkeit $S_{Fmin}$	Anwendung	Kontaktfestigkeit $S_{Hmin}$
1.25~1.5	Allgemeine Antriebe	1.0~1.1
1.5~1.8	Hohe Zuverlässigkeit	1.1~1.25
1.8~2.5	Luft- und Raumfahrt	1.25~1.5

7. Durchgerechnetes Beispiel (Schnellberechnung)

Schnelle Festigkeitsabschätzung für ein Stirnrad

Parameter	Wert
Modul $m_n$	3 mm
Zähnezahl $Z_1$ / $Z_2$	23 / 74
Zahnbreite $b$	40 mm
Eingangsdrehmoment $T_1$	200 N·m
Werkstoff/Wärmebehandlung	20CrMnTi einsatzgehärtet und abgeschreckt
Drehzahl $n_1$	1450 rpm
Genauigkeitsgrad	DIN Grad 6

Berechnungsschritte:

Umfangskraft: $F_t = 2T/d_1 = 2 × 200000 / (3×23) = 5797 N$
Flankenkontaktspannung — mit $Z_H=2.5,\ Z_E=189.8,\ Z_ε=0.87,\ Z_β=1.0,\ K_A=1.25,\ K_V=1.1,\ K_{Hβ}=1.15,\ K_{Hα}=1.1$: $σ_H = 2.5 × 189.8 × 0.87 × 1.0 × √(5797/(40×69) × (3.22+1)/3.22 × 1.25×1.1×1.15×1.1) ≈ 720\ MPa$
Zulässige Kontaktspannung: $σ_{HP} = 1500 / (1.1) ≈ 1364\ MPa$ (sicher)
Zahnfußbiegespannung — mit $Y_{Fa}=2.7,\ Y_{Sa}=1.55,\ Y_ε=0.7,\ Y_β=1.0,\ K_{Fβ}=1.1,\ K_{Fα}=1.1$: $σ_F = 5797/(40×3) × 2.7×1.55×0.7×1.0 × 1.25×1.1×1.1×1.1 ≈ 258\ MPa$
Zulässige Biegespannung: $σ_{FP} = 500×2.0 / (1.5) ≈ 667\ MPa$ (sicher)

8. Software und Werkzeuge

Werkzeug	Typ	Hinweise
KISSsoft	Kommerzielle Software	Professionelle Auslegung und Analyse von Zahnradgetriebesystemen
MASTA	Kommerzielle Software	Auslegung und Simulation von Getriebesystemen
Romax	Kommerzielle Software	Analyse von Getriebe-/Lagersystemen
Zahnradberechnungstabelle (Excel)	Intern	PinyiGear interne Zahnradfestigkeitsprüftabelle
Online-Zahnradberechnung	Web	www.geartechnology.com Online-Berechnungswerkzeug

9. Konstruktionshinweise

Sollte sich die Flankenkontaktfestigkeit als unzureichend erweisen, beheben Sie dies in der folgenden Reihenfolge: Vergrößern Sie zuerst den Teilkreisdurchmesser, verbreitern Sie dann die Zahnbreite und erhöhen Sie schließlich die Härte.
Sollte sich die Zahnfußbiegefestigkeit als unzureichend erweisen, vergrößern Sie zuerst den Modul, verbreitern Sie dann die Zahnbreite und wenden Sie schließlich eine positive Profilverschiebung an.
In jeder realen Konstruktion müssen beide Festigkeitskriterien gleichzeitig erfüllt sein.
Bei schnell laufenden Zahnrädern ist zusätzlich ein Nachweis der Fresstragfähigkeit erforderlich, der entweder nach der Blitztemperaturmethode oder nach der Integraltemperaturmethode durchgeführt wird.